Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème

Soit \(\text{ABC}\) un triangle.
Si \(\color{red}{\text{A}}\text{B}^2+\color{red}{\text{A}}\text{C}^2 = \text{BC}^2\), alors \(\text{ABC}\) est un triangle rectangle en \(\color{red}{\text{A}}\).

Exemple

Toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.
On considère un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}=3\sqrt{2}\), \(\text{AC} = \sqrt{6}\) et \(\text{BC}=2\sqrt{3}\).
À l'aide de la calculatrice, on constate que \([\text{AB}]\) est le plus grand des trois côtés du triangle.
On a :
d'une part, \(\text{AB}^2=(3\sqrt{2})^2=9\times 2 = 18\).
d'autre part, \(\text{AC}^2+\text{BC}^2 =(\sqrt{6})^2+(2\sqrt{3})^2=6+4\times 3 = 6+12=18.\)

On constate que \(\text{AC}^2+\text{BC}^2 =\text{AB}^2\).

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text{C}\).